Þraut: borðmörkin
Martingale-kerfi á $10 við borð með $500 hámarki. Hve oft brestur það, hve miklu tapar það þegar það brestur, og hjálpar að hækka hámarkið?
Sex töp í röð láta það bresta: 1,8% á hverja hrinu, í um 60% af 100 snúninga lotum. Bresturinn kostar $630. Ef hámarkið er hækkað í $5.000 verður bresturinn sjaldgæfari (0,25% á hrinu) og stærri ($5.110). Vænt tap á hvern dollara sem lagður er undir er 2,70% við hvaða hámark sem er.
Þrautin
Spilari veðjar $10 á rauttveðmálRauttVeðmál á jöfnu á 18 rauðu tölurnar. Á frönsku: rouge.Lesa allt → og tvöfaldar eftir hvert tap en byrjar aftur frá grunni eftir vinning. Hámark borðsins er $500. (a) Hve mörg töp í röð láta stigmögnuninakerfiStigmögnunHver regla sem breytir veðupphæðinni eftir fyrri útkomum. Neikvæð stigmögnun hækkar hana eftir tap, jákvæð eftir vinning.Lesa allt → bresta? (b) Hverjar eru líkurnarstærðfræðiLíkurHve líkleg tiltekin útkoma er, frá 0 til 1 eða 0% til 100%. Ein tala: 1/37 = 2,70%.Lesa allt → á hverja hrinu? (c) Hvað tapast við brestinn? (d) Hvernig breytir $5.000 hámark svörunum? (e) Gerir eitthvert hámark kerfið arðbært?
Lausnir á (a)–(c)
Veðupphæðir: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Sú sjöunda yrði 640 > 500, svo sex töp láta kerfið bresta. (b) p(tap) = 19/37 á rautt; (19/37)⁶ = 0,0183, um 1,8% á hrinu. Hrina varir að meðaltali um tvo snúninga, svo 100 snúninga lota hefur um það bil 50 hrinur og p(minnst einn brestur) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, sem eru 63 grunneiningarpeningarEiningGrunnveðupphæðin sem kerfi eða spilari vinnur með. Stigmögnunarkerfum er lýst í einingum svo að þau eigi við á hvaða borði sem er.Lesa allt →, á móti þeim $10 sem hrinan reyndi að vinna.
Lausn á (d)
Við $5.000: veðupphæðir upp að 2.560 eru leyfðar; tíundu veðupphæðinni, 5.120, er hafnað. Níu töp láta kerfið bresta: (19/37)⁹ ≈ 0,25% á hrinu, í um 11% af 100 snúninga lotum. Tap við brestinn: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. Spilarinn hefur keypt sjaldgæfari hörmung á verði stærri hörmungar. Yfir margar lotur er væntur kostnaður brestanna p × tap ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 á hrinu við $500 hámarkið og 0,0025 × 5.110 = $12,8 við $5.000; það er, að teknu tilliti til námundunar, sama talan, og hún er vænt tapstærðfræðiVænt tapVæntigildi sinnum heildarupphæðin sem veðjað er; meðaltapið yfir lotu eða tímabil.Lesa allt → hrinunnar að frádregnum þeim $10 sem vinningshrinurnar skila.
Lausn á (e)
Nei. Vænt tap á hrinu = (vænt heildarveðupphæð í hrinunni) / 37, við hvaða hámark sem er, af því að hvert veðmál er −1/37 af sjálfu sér. Hámarkið ræður aðeins því hvernig tapið skiptist á milli margra lítilla vinninga og fárra stórra tapa. Án hámarks og með óendanlegan spilasjóðpeningarSpilasjóðurHeildarupphæðin sem lögð er til hliðar fyrir spilun. Sjóðsstjórnun snýst um að ákveða hve miklu af henni er hætt í hverju veðmáli og hverri lotu.Lesa allt → myndi stigmögnunin „virka“ í þeim skilningi að hún brysti aldrei, og hún myndi einnig leggja undir ótakmarkaða upphæð með væntu tapi upp á 2,70% af þeirri ótakmörkuðu upphæð. Það eru ekki borðmörkinborðBorðmörkLægsta og hæsta leyfða veðmál. Hámarkið er það sem stöðvar tvöföldunarkerfi.Lesa allt → sem koma í veg fyrir að Martingale-kerfiðkerfiMartingaleStigmögnun sem tvöfaldar veðmálið eftir hvert tap. Í kaflanum Veðmálakerfi í rúllettu kemur fram hvað hún gerir og gerir ekki.Lesa allt → virki. Það er reikningurinn.
Tvö raunveruleg borð
Dæmi Thorps er $1 borð með $1.000 hámarki, þar sem spilari vonast til að vinna $30 fyrir kvöldmat, einn dollara í einu. Veðupphæðirnar 1, 2, 4 … 512 leyfa tíu veðmál, svo tíu töp í röð láta stigmögnunina bresta: einu sinni í 785 hrinum á evrópsku hjóli (einu sinni í 613 á bandarísku), og það kostar $1.023. Þrjátíu hrinur heppnast allar í 96,2% tilvika. Í hinum 3,8% tapast um $1.000, og meðalniðurstaða kvöldsins er −$9,17, sem er nákvæmlega 1/37 af þeim $339 sem hrinurnar þrjátíu leggja að meðaltali undir. $5 borð með $2.000 hámarki er ekkert öðruvísi: veðupphæðir upp að $1.280 leyfa níu veðmál, og bresturinn kemur einu sinni í 403 hrinum á evrópsku hjóli (einu sinni í 323 á bandarísku) og kostar $2.555.
Ríkur spilari
Gefðu stigmögnuninni djúpan spilasjóð í stað lágs hámarks: 1.000 einingar, einnar einingar grunn og 1.000 snúninga á rautt, og byrjaðu aftur á einni einingu hvenær sem næsta tvöföldun er meiri en það sem eftir er. Við hermdum milljón slík kvöld. Á evrópsku hjóli enda 52% í plús, 21% tapa öllu og meðalniðurstaðan er −124 einingar. Jafnvel í leik án núllshjólNúllStaka græna hólfið sem ekkert veðmál á jöfnu, tylft eða dálk nær yfir; uppspretta forskots hússins. Einnig: eitt núll, 0.Lesa allt →, þar sem hvert veðmál er sanngjarnt, myndu aðeins um 60% enda í plús. Venjulega kvöldið er lítill vinningur; meðaltalið er greitt af kvöldunum sem enda í núlli.
Lærdómurinn
Spilavíti setja hámörk til að halda eigin dreifnistærðfræðiDreifniMælikvarði á hve vítt útkomur dreifast um væntigildið. Mikil fyrir staka tölu, lítil fyrir veðmál á jöfnu.Lesa allt → í skefjum, ekki til að sigra kerfi. Að sigra Martingale-kerfið er aukaverkun sem þau taka fegins hendi, og reikningurinn myndi sigra það hvort sem er. Spilari sem heldur að hámarkið sé vandamálið hefur fundið bjargbrúnina og haldið að hún væri brekkan.
Formúla
Spurningar
Hann gerir þér kleift að lifa af upp að hærra hámarki, þar sem bresturinn er sjaldgæfari og stærri. Vænt tap á hvern dollara er óbreytt.
Veðupphæðir 10, 30, 70, 150, 310: $500 hámarkinu er náð eftir fimm töp og bresturinn kostar $570. Sömu 2,70%.
Svo að einn spilari geti ekki veðjað meira en varasjóður spilavítisins ræður auðveldlega við að greiða. Stjórnun dreifni.
Gaman að stærðfræði
Spreyttu þig fyrst. Hver lausn er falin; opnaðu hana þegar þú vilt.
MartingalekerfiMartingaleStigmögnun sem tvöfaldar veðmálið eftir hvert tap. Í kaflanum Veðmálakerfi í rúllettu kemur fram hvað hún gerir og gerir ekki.Lesa allt →-kerfi byrjar á $100 á rauttveðmálRauttVeðmál á jöfnu á 18 rauðu tölurnar. Á frönsku: rouge.Lesa allt → og leyfir sér í mesta lagi n veðmál í hverri hrinu: eftir n töp í röð gefst það upp og byrjar upp á nýtt. Skrifaðu meðalniðurstöðu einnar hrinu sem formúlu í n og reiknaðu hana út fyrir 5, 6 og 7 veðmál á evrópsku hjóli.
Sýna lausnina
Svar Meðaltalið er 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 fyrir 5 veðmál, −$17,35 fyrir 6 og −$20,52 fyrir 7. Að leyfa fleiri veðmál gerir meðalhrinuna verri, ekki betri.
Hrina vinnur $100 nema öll n veðmálin tapi, sem gerist með líkunum qⁿ, þar sem q = 19/37. Þegar þau tapa öll leggjast veðupphæðirnar 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ saman í 100 × (2ⁿ − 1). Meðaltalið er því 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Hér er 2q = 38/37, aðeins meira en 1, svo (2q)ⁿ vex með n og meðaltalið lækkar: n = 5 gefur 1,1426 og −$14,26; n = 6 gefur 1,1735 og −$17,35; n = 7 gefur 1,2052 og −$20,52. Lengri stigi tapar sjaldnar, í 3,6%, 1,8% og 0,9% hrina, en hvert tap er tvöfalt stærra og meira fé fer yfir borðið í hverri hrinu, á 2,70% af hverju veðmáli.
Á bandarísku hjóli er 2q = 40/38 og tölurnar eru −$29,24, −$36,04 og −$43,20 (Taylor, 2021). Í leik án núllshjólNúllStaka græna hólfið sem ekkert veðmál á jöfnu, tylft eða dálk nær yfir; uppspretta forskots hússins. Einnig: eitt núll, 0.Lesa allt → er 2q = 1 og hver hrina er að meðaltali nákvæmlega núll, hversu langur sem stiginn er.
„Stóra Martingale-kerfið“ tvöfaldar veðupphæðina eftir tap og bætir einni einingupeningarEiningGrunnveðupphæðin sem kerfi eða spilari vinnur með. Stigmögnunarkerfum er lýst í einingum svo að þau eigi við á hvaða borði sem er.Lesa allt → við, svo veðupphæðirnar eru 1, 3, 7, 15, 31 … Hve mikið ertu yfir þegar fyrsti vinningurinn kemur í 1., 2., 3. eða k-ta veðmáli? Með $10 einingu og $500 hámarki, hve oft brotnar hrina og hvað kostar hrina að meðaltali?
Sýna lausnina
Svar Vinningur í k-ta veðmáli skilur þig eftir k einingum yfir: +1, +2, +3 og svo framvegis. Við $10 og $500 brotnar hrinan eftir fimm töp, í 3,57% hrina, fyrir −$570. Að meðaltali tapar hrina $2,32 af $85,73 sem lagðir eru undir: 2,70%.
k-ta veðupphæðin er 2ᵏ − 1 einingar: 1, 3, 7, 15, 31. Fyrstu k − 1 veðupphæðirnar leggjast saman í 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Vinningur í k-ta veðmáli greiðir 2ᵏ − 1, svo hrinan endar (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k einingum yfir: ein aukaeining fyrir hvert tap á undan vinningnum.
Við $10 á einingu eru veðupphæðirnar $10, $30, $70, $150 og $310; sú næsta, $630, er yfir $500 hámarkinu. Fimm töp í röð, (19/37)⁵ = 3,57%, kosta 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Meðaltal: vinningarnir skila $10 × k með líkunum (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 fyrir k = 1 til 5 og brotið tekur $570 með líkunum 3,57%; samanlagt −$2,32. Féð sem lagt er undir er að meðaltali $85,73 í hrinu og 2,32/85,73 = 2,70%. Venjulega Martingale-kerfið við sama borð brotnar eftir sex töp, í 1,83% hrina, fyrir −$630, og tapar $1,74 af $64,20 sem lagðir eru undir: aftur 2,70%.
Spilari ætlar að spila Martingale-kerfið á rautt með $1 fyrsta veðmáli við borð með $1.000 hámarki, svo tíu veðmál eru möguleg: $1, $2, $4 og svo framvegis upp í $512. Hve oft tapar hrina öllum tíu, hve langan tíma tekur það að meðaltali og hve oft endar kvöld með 200 veðmálum þannig?
Sýna lausnina
Svar Hrina tapar öllum tíu um einu sinni af 784, sem kostar $1.023. Það eru um 1.600 veðmál að meðaltali og kvöld með 200 veðmálum lendir á veggnum í um 11% tilvika. Hrina tapar samt $0,31 að meðaltali af $11,31 sem lagðir eru undir: 2,70%.
Veðmál á rautt tapar með líkunum 19/37, núllið meðtalið. Tíu í röð: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, um 1 af 784. Veðupphæðirnar 1 + 2 + 4 + … + 512 leggjast saman í $1.023.
Hrina tekur 2,05 veðmál að meðaltali, svo 784 hrinur taka um 1.600 veðmál. Talið snúning fyrir snúning kemur runa af tíu töpum einhvers staðar í 200 veðmálum í 11,3% tilvika.
Milli áfalla vinnur spilarinn $1 í hverri hrinu: um $783 fram að slæmu hrinunni, síðan −$1.023, um −$240 yfir allt tímabilið. Á hrinu: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Fé lagt undir á hrinu: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Og −0,31/11,31 = −2,70%.
Berðu saman við $10 fyrsta veðmál með $500 hámarki, sex veðmál: veggurinn kemur einu sinni í 55 hrinum og kvöld með 200 veðmálum lendir á honum í 84% tilvika. Hærra hámark gerir hrunið sjaldgæfara og stærra, ekki ódýrara.
Smá skemmtun
Sjaldgæfari og stærri, við hvaða hámark sem er. Margfeldið er fast.
Heimildir
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. „Optimal gambling systems for favorable games.“
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2. útg.