Líkur á runum í rúllettu
Langar runur af sama lit eru algengar. Þær hafa jafnframt enga þýðingu fyrir næsta snúning.
Fimm rauð í röð: 2,7%. Tíu: 0,074%. Í 200 snúninga lotu kemur runa af sex í sama lit oftar fram en ekki.
Hversu oft taprunur koma
Veðmál á jöfnu á hjóli með einu núlli tapar í 19 snúningum af 37. Hver lína sýnir líkurnar á að allir snúningar í tiltekinni runu tapi, og hve miklu Martingale-spilari, sem tvöfaldar eftir hvert tap, hefur þá tapað.
| töp í röð | líkur | um það bil 1 af | tapað hingað til | næsta veðmál |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1.023 | $1.024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2.047 | $2.048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4.095 | $4.096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8.191 | $8.192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16.383 | $16.384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32.767 | $32.768 |
Líkurnar eru 19/37 margfaldaðar með sjálfum sér einu sinni fyrir hvert tap, talið frá einum tilteknum snúningi. Í langri lotu eru margir snúningar þar sem slík runa getur hafist, svo yfir heilt kvöld er hún mun líklegri en ein lína gefur til kynna.
Ein runa
LíkurnarstærðfræðiLíkurHve líkleg tiltekin útkoma er, frá 0 til 1 eða 0% til 100%. Ein tala: 1/37 = 2,70%.Lesa allt → á að rauttveðmálRauttVeðmál á jöfnu á 18 rauðu tölurnar. Á frönsku: rouge.Lesa allt → komi upp í öllum næstu k snúningum eru (18/37)ᵏ. Tveir: 23,7%. Fimm: 2,7%. Tíu: 0,074%, um 1 af 1.350. Tuttugu: 1 af 1,8 milljónum. Tuttugu og sex, metið frá Monte Carlo: 1 af 137 milljónum. Þetta eru líkurnar á tiltekinni runu sem hefst í tilteknum snúningi, og það er spurning sem nánast enginn er í raun að spyrja.
Í lotu
Spurningin sem fólk á við er „mun runa af k koma einhvers staðar fram í lotunni minni?“, og svarið er miklu hærra en (18/37)ᵏ því 200 snúninga lota býður upp á nærri 200 staði þar sem runa getur hafist. Runa af sex eða fleiri í sama lit, rauðu eða svörtuveðmálSvartVeðmál á jöfnu á 18 svörtu tölurnar. Á frönsku: noir.Lesa allt →, kemur fram í 200 snúninga lotu í um 94% tilvika; átta eða fleiri í um 47%; tíu eða fleiri í um 14%. Ef liturinn er ákveðinn fyrir fram lækka líkurnar, í um 75%, 27% og 7%. Spilari sem situr við borðið heilt kvöld sér langar runur á hverju kvöldi.
Hvers vegna þetta skiptir Martingale-kerfið máli
Sérhver neikvæð stigmögnunkerfiStigmögnunHver regla sem breytir veðupphæðinni eftir fyrri útkomum. Neikvæð stigmögnun hækkar hana eftir tap, jákvæð eftir vinning.Lesa allt → á sér runulengd sem brýtur hana: sex töp frá $10 grunni við $500 hámark, tíu fyrir Fibonacci-kerfiðkerfiFibonacciStigmögnun sem fylgir rununni 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: eitt skref fram eftir tap, tvö skref til baka eftir vinning.Lesa allt →, fimm þegar veðupphæðin er þrefölduð á tylftirveðmálTylft1–12, 13–24 eða 25–36, greiðir 2:1.Lesa allt →. Líkurnar á taprunu af sex á veðmáli á jöfnu eru (19/37)⁶ ≈ 1,8% í hverri tilraun, og 200 snúninga lota inniheldur ef til vill 100 tilraunir, svo hrunið kemur í um það bil fjórum lotum af hverjum fimm af þeirri lengd. Líkurnar á runum í rúllettu eru ástæða þess að hengiflugið er ekki sjaldgæft.
Heitar og kaldar tölur
Sami reikningur á við um stakar tölurveðmálStök talaEin tala, greiðir 35:1.Lesa allt →. Í 300 snúningum er væntur fjöldi á hverja tölu 8,1; staðalfrávikiðstærðfræðiStaðalfrávikKvaðratrót dreifninnar; dæmigerð fjarlægð útkomu frá væntigildinu.Lesa allt → er um 2,8. Einhver tala kemur upp 15 sinnum og einhver 2 sinnum af hreinni tilviljun, í hvert einasta skipti. Úrslitatafla sem dregur fram „heitar“ tölur er að draga fram efri enda normaldreifingar. Rúllettutilraunastofan útskýrir hve marga snúninga þarf áður en heit talamýtaHeit talaTala sem hefur komið oftar upp en búast mátti við að undanförnu. Á heiðarlegu hjóli spáir hún engu.Lesa allt → merkir eitthvað (þúsundir, frá einu tilteknu hjóli).
Óhæði er kjarni málsins
Runa af tíu rauðum gerir svart ekki líklegra, og hún gerir rautt ekki heldur líklegra. Hvort tveggja er 18/37. Runur eru eiginleiki tilviljanakenndra talnaruna og væru grunsamlegar ef þær vantaði: 200 snúningar þar sem engin runa er lengri en fjórar væru miklu sterkari vísbending um að átt hefði verið við hjólið en jafnmargir snúningar með tólf í röð.
Formúla
Spurningar
26 svört í Monte Carlo 18. ágúst 1913 er sú fræga. Greint var frá 32 rauðum í röð í bandarísku spilavíti árið 1943. Hvort tveggja samræmist tilviljun miðað við hve marga snúninga spilavíti keyra.
Það er 18/37 hvort sem er. Veðjaðu á það sem áætlunin þín segir, eða alls ekki.
Nei. Skekkja birtist þannig að sum hólfbúnaðurHólfEitt af 37 númeruðu hólfunum á snúðnum. Á ensku einnig: slot, cup.Lesa allt → koma oftar upp yfir þúsundir snúninga, ekki sem litarunur.
Gaman að stærðfræði
Spreyttu þig fyrst. Hver lausn er falin; opnaðu hana þegar þú vilt.
Hve marga snúninga á evrópsku hjóli þarf að meðaltali þar til allar 37 tölurnar hafa komið upp a.m.k. einu sinni?
Sýna lausnina
Svar Um 155 snúninga að meðaltali; miðgildið er 147.
Teldu biðina eina nýja tölu í einu. Fyrsti snúningurinn sýnir alltaf nýja tölu. Þegar þú hefur séð 1 tölu eru 36 hólfbúnaðurHólfEitt af 37 númeruðu hólfunum á snúðnum. Á ensku einnig: slot, cup.Lesa allt → af 37 ný, svo næsta nýja tala tekur 37/36 snúninga að meðaltali. Þegar þú hefur séð k tölur tekur hún 37/(37 − k).
Leggðu biðirnar saman: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 snúningar.
Mestur hluti þess er í lokin. Síðasta talan ein tekur 37 snúninga að meðaltali og síðustu fimm um 85. Á bandarísku hjóli gefur sama summa um 161. Þetta er safnaravandinn (e. coupon collector’s problem); sama meðaltal fæst með hefðbundna útreikningnum.
Í 37 snúningum á evrópsku hjóli, einum fyrir hvert hólf, hve margar ólíkar tölur máttu búast við að sjá?
Sýna lausnina
Svar Um 23,6. Um þriðjungur talnanna, um 13, kemur alls ekki upp.
Taktu eina tölu, segjum 17. Í hverjum snúningi kemur hún ekki upp með líkunum 36/37, svo hún missir af öllum 37 snúningunum með líkunum (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Allar tölur hafa sömu líkur, svo að meðaltali vantar 37 × 0,363 ≈ 13,4 tölur og 37 − 13,4 ≈ 23,6 koma upp, margar þeirra tvisvar eða oftar.
Rúllettuspilarar kalla þetta þriðjungalögmálið. Það er ekkert lögmál, aðeins reikningur endurtekninga: í runu jafnlangri hjólinu situr um þriðjungur talnanna hjá, á heiðarlegu hjóli eins og á hverju öðru. Á 38 hólfum er hlutfallið líka (37/38)³⁸ ≈ 0,363; á stóru hjóli nálgast það 1/e ≈ 0,368.
Vinur sýnir þér tvo lista með 50 litum, rauðumveðmálRauttVeðmál á jöfnu á 18 rauðu tölurnar. Á frönsku: rouge.Lesa allt → eða svörtumveðmálSvartVeðmál á jöfnu á 18 svörtu tölurnar. Á frönsku: noir.Lesa allt →, hvorn um sig sagðan koma af hjóli þar sem núllunumhjólNúllStaka græna hólfið sem ekkert veðmál á jöfnu, tylft eða dálk nær yfir; uppspretta forskots hússins. Einnig: eitt núll, 0.Lesa allt → er sleppt. Annar skiptir um lit 25 sinnum og lengsta runa hans er sex. Hinn skiptir 35 sinnum og fer aldrei yfir þrjá í röð. Hvor þeirra var búinn til?
Sýna lausnina
Svar Sá seinni. Raunverulegur listi skiptir um lit um 24 eða 25 sinnum. Listi með 35 skiptum kemur fyrir um einu sinni af hverjum 500 listum og listi án lengri runu en þriggja um tvisvar af hverjum 100.
Hver nýr litur annaðhvort endurtekur þann síðasta eða skiptir, til helminga, svo 49 tækifæri til að skipta gefa 24,5 skipti að meðaltali, plús eða mínus um 3,5. Þrjátíu og fimm er þremur slíkum skrefum yfir meðaltalinu; heiðarlegt hjól gefur svo mörg skipti um einu sinni af hverjum 500 listum.
Runurnar segja sömu sögu. Raunverulegur listi með 50 litum hefur runu af fjórum eða fleiri í um 98% tilvika og lengsta runan er oftast fimm eða sex.
Fólk sem er beðið um að búa til tilviljanakenndan lista skiptir of oft, því runa af fjórum eða fimm virðist því vera mynstur. Taylor (2021) sýnir sama einkenni í listum yfir peningaköst sem nemendur bjuggu til: raunveruleg tilviljun er runukenndari en fólk heldur.
Bók með sögum úr spilavítum segir frá spilara sem fékk töluna sína upp fimm sinnum í röð og kallar það met. Hversu sjaldgæft er það á evrópsku hjóli? Og hversu oft ætti það að gerast einhvers staðar í einu spilavíti með 20 borðum þar sem hvert snýst 40 sinnum á klukkustund, dag og nótt?
Sýna lausnina
Svar Tiltekin tala fimm sinnum í röð: 1 af 69 milljónum. Einhver tala sem kemur upp fjórum sinnum í viðbót eftir að hún birtist fyrst: 1 af 1,87 milljónum. Það spilavíti snýr um 7 milljón sinnum á ári, svo þar ætti runa af fimm að koma þrisvar eða fjórum sinnum á ári.
Tiltekin tala kemur upp með líkunum 1/37 í hverjum snúningi, svo fimm í röð hafa líkurnar (1/37)⁵ = 1 af 69.343.957. En enginn nefnir töluna fyrir fram. Hvað sem kemur fyrst upp verða næstu fjórir snúningar að endurtaka það: (1/37)⁴ = 1 af 1.874.161.
20 borð × 40 snúningar × 24 klukkustundir × 365 dagar = 7.008.000 snúningar á ári. Hver snúningur getur hafið runu, svo spilavítið má búast við 7.008.000/1.874.161 ≈ 3,7 runum af fimm á ári.
Ekkert opinbert met af þessu tagi er til og þess þarf ekki: sjaldgæfur atburður við eitt borð er hversdagslegur í heilu spilavíti og sögurnar eru sagðar um borðið þar sem hann gerðist. Sagan, í Goldman (2007), gerist á hjóli með tveimur núllum, þar sem tölurnar eru 1 af 79 milljónum og 1 af 2,09 milljónum.
Smá skemmtun
Svona lítur tilviljun út: langar runur.
Heimildir
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, 1. bindi.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2. útg.