Samleitni til lengri tíma: lögmál mikilla talna í rúllettu
Hvernig meðaltalið nálgast −2,70% og hvers vegna það tekur lengri tíma en innsæið segir til um.
Meðaltap á snúning stefnir á −1/37 eftir því sem snúningunum fjölgar og dreifingin í kringum það minnkar eins og 1/√N. Eftir 1.000 snúninga á rautt er meðaltalið yfirleitt innan ±3% frá væntigildi sínu.
Lögmál mikilla talna
Hlaupandi meðaltal óháðra veðmála stefnir á væntigildiðstærðfræðiVæntigildiMeðalútkoma á hvert veðmál til lengri tíma. −1/37 af veðupphæðinni fyrir hvert hefðbundið evrópskt veðmál.Lesa allt →. Eftir N snúninga á jöfnu með einni einingupeningarEiningGrunnveðupphæðin sem kerfi eða spilari vinnur með. Stigmögnunarkerfum er lýst í einingum svo að þau eigi við á hvaða borði sem er.Lesa allt → hefur meðalniðurstaða á snúning væntigildið −1/37 og staðalfrávikiðstærðfræðiStaðalfrávikKvaðratrót dreifninnar; dæmigerð fjarlægð útkomu frá væntigildinu.Lesa allt → 1/√N. Við N = 100 er sú dreifing 10% af veðupphæðinni, nærri fjórfalt merkið sjálft, 2,7%. Við N = 1.000 er hún 3,2%, um það bil jafnstór merkinu. Við N = 10.000 er hún 1% og forskotið sést greinilega. Forskotið er ósýnilegt í einni lotu og óyggjandi á einu ári.
Hvað nálgast og hvað ekki
Meðaltalið á snúning er samleitið. Heildin er það ekki: hún fjarlægist núllið eftir því sem N vex, að jafnaði um 2,7% af N, með dreifingu upp á √N þar í kring. Spilari sem hefur spilað 10.000 snúninga á $10 má búast við að vera $2.700 undir, $1.000 til eða frá. Hlaupandi hlutfall rauðraveðmálRauttVeðmál á jöfnu á 18 rauðu tölurnar. Á frönsku: rouge.Lesa allt → talna er löngu orðið stöðugt nálægt 48,65%; hlaupandi staðan hefur hvergi náð jafnvægi.
- p10 −$440
- p25 −$280
- miðgildi −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Hvers vegna innsæið bregst
Fólk býst við að forskotið komi fljótt í ljós af því að 2,70% hljómar mikið, og býst við að langar runur „jafni sig út“ af því að lögmál mikilla talnastærðfræðiLögmál mikilla talnaMeðaltal óháðra útkoma stefnir á væntigildið eftir því sem tilraununum fjölgar.Lesa allt → segir að meðaltöl nálgist markgildi. Hvort tveggja misskilur stærðarhlutföllin: forskotið er lítið miðað við dreifnistærðfræðiDreifniMælikvarði á hve vítt útkomur dreifast um væntigildið. Mikil fyrir staka tölu, lítil fyrir veðmál á jöfnu.Lesa allt → eins snúnings (σ = 1 eining á móti EV = 0,027), svo það tekur (1/0,027)² ≈ 1.400 snúninga þar til það sést í einu staðalfráviki. Og samleitni meðaltalsins dregur heildina ekkert til baka; hún þynnir aðeins út fyrri sveiflur.
Samleitni annarra veðmála
Fyrir veðmál á staka töluveðmálStök talaEin tala, greiðir 35:1.Lesa allt → er σ = 5,84, svo sami útreikningur gefur (5,84/0,027)² ≈ 47.000 snúninga þar til forskotið nær einu staðalfráviki. Spilari sem veðjar á stakar tölur getur spilað árum saman án þess að forskotið verði greinanlegt frá heppni í hans eigin skrám, þótt hann greiði nákvæmlega sömu 2,70% og spilarinn á rauðu sem sér það innan fárra vikna.
Hvað þetta þýðir fyrir prófun kerfa
Hver sá sem heldur því fram að kerfi virki ætti að geta sýnt það yfir 10.000 snúninga eða fleiri með skjalfestu jákvæðu meðaltali. Við 1.000 snúninga er jákvætt meðaltal á veðmálum á jöfnu atburður sem gerist í einu tilviki af fimm samkvæmt núlltilgátunni; við 100 snúninga er það nánast eins og að kasta upp peningi. Hermarnir á þessum vef keyra 2.000 lotur af þeirri lengd sem þú velur á einni sekúndu, sem er meiri sönnun en nokkur reynslusaga.
Formúla
Spurningar
LíkurnarstærðfræðiLíkurHve líkleg tiltekin útkoma er, frá 0 til 1 eða 0% til 100%. Ein tala: 1/37 = 2,70%.Lesa allt → á því að komast nokkurn tímann aftur í plús stefna á núll eftir því sem þú spilar lengur. Heildin rekur niður á við án takmarka.
Nei. Það þýðir að fyrri sveiflur verða sífellt minni hluti af stærra úrtaki.
Fyrir veðmál á jöfnu um 10.000 áður en forskotið sést greinilega. Fyrir stakar tölur um 50.000.
Gaman að stærðfræði
Spreyttu þig fyrst. Hver lausn er falin; opnaðu hana þegar þú vilt.
Tveir vinir spila 20 umferðir af sanngjörnum leikstærðfræðiSanngjarn leikurLeikur þar sem hvorugur aðilinn hefur forskot: hvert veðmál hefur væntigildið núll.Lesa allt →, peningakasti eða rauðuveðmálRauttVeðmál á jöfnu á 18 rauðu tölurnar. Á frönsku: rouge.Lesa allt → gegn svörtuveðmálSvartVeðmál á jöfnu á 18 svörtu tölurnar. Á frönsku: noir.Lesa allt → þar sem núllumhjólNúllStaka græna hólfið sem ekkert veðmál á jöfnu, tylft eða dálk nær yfir; uppspretta forskots hússins. Einnig: eitt núll, 0.Lesa allt → er skilað, og halda utan um stöðuna jafnóðum. Teldu í hve mörgum umferðum hvor þeirra er yfir (jafntefli telst þeim sem var yfir rétt á undan). Hvort er líklegra: að forystunni sé skipt 10 umferðir á móti 10, eða að annar vinurinn leiði allar 20?
Sýna lausnina
Svar Að annar vinurinn leiði allar 20 umferðirnar er miklu líklegra: 35,2%, hvor sem er, á móti 6,1% fyrir jafna skiptingu 10 á móti 10.
Líkurnar á að staðan í sanngjörnum leik sé jöfn eftir 2k umferðir eru u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 eftir 10 umferðir og 0,176 eftir 20. Þekkt niðurstaða, arkarsínuslögmálið, segir að líkurnar á að tiltekinn vinur leiði í nákvæmlega 2k af 2n umferðum séu u(2k) × u(2n − 2k).
Forysta í öllum 20: u(20) × u(0) = 0,176 fyrir hvorn vin, 35,2% fyrir hvorn sem er. Jöfn skipting: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, ólíklegasta skiptingin af öllum.
Í sanngjörnum leik skiptir forystan því sjaldan um hendur. Spilari sem hefur verið yfir allt kvöldið, eða undir allt kvöldið, hefur ekki séð neitt óvenjulegt og það segir ekkert um hjólið eða um færni. Epstein (2013) gefur sama lögmál fyrir lengri leiki: í helmingi tilvika leiðir heppnari aðilinn í meira en 85% leiksins.
Smá skemmtun
Meðaltalið nálgast. Heildin fer bara sína leið.
Heimildir
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, 1. bindi.