Þraut: afmælishjólið
Hve marga snúninga þarf áður en einhver tala endurtekur sig? Miklu færri en flestir giska á.
Afmælisvandinn á hjóli með 37 hólfumbúnaðurHólfEitt af 37 númeruðu hólfunum á snúðnum. Á ensku einnig: slot, cup.Lesa allt →: eftir aðeins 8 snúninga eru meira en helmingslíkur á að einhver tala hafi þegar komið upp tvisvar. Spilarar lesa endurtekningar sem mynstur; þær eru vænt hegðun heiðarlegs hjóls.
Þrautin
Snúðu heiðarlegu evrópsku hjóli. Hve marga snúninga þarf þar til líkurnarstærðfræðiLíkurHve líkleg tiltekin útkoma er, frá 0 til 1 eða 0% til 100%. Ein tala: 1/37 = 2,70%.Lesa allt → á að minnst tveir snúningar hafi sýnt sömu tölu eru meiri en helmingur? Flestir spilarar giska á eitthvað í kringum 18 eða 19, helminginn af 37. Svarið er 8.
Lausnin
Reiknaðu líkurnar á engri endurtekningu og dragðu frá einum. Eftir k snúninga er p(allar ólíkar) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Fyrir k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, svo p(einhver endurtekning) ≈ 0,56. Fyrir k = 14 eru þær 0,93; fyrir k = 20 eru þær 0,996. Innsæið bregst af því að fjöldi para af snúningum vex eins og k², og hvaða par sem er getur passað saman.
Hvers vegna það skiptir máli við borðið
Úrslitatafla með síðustu 20 tölunum sýnir nær alltaf minnst eina endurtekningu, oft tvær eða þrjár. Spilarar sjá „17 kom tvisvar á tíu snúningum“ og álykta að 17 sé heit; afmælisreikningurinn segir að endurtekning innan tíu snúninga gerist í 74% tilvika og að talan sem endurtekur sig sé tilviljun. Mynstrið er raunverulegt; merkingin ekki.
Framhaldsþrautin
Hve marga snúninga þarf þar til tiltekin tala, segjum 17, hefur komið upp tvisvar? Það er önnur spurning með miklu hærra svari: væntur biðtími er 74 snúningar og líkurnar á að 17 komi upp tvisvar innan 20 snúninga eru um 10%. Munurinn á „einhver tala endurtekur sig“ (8 snúningar) og „þessi tala endurtekur sig“ (74 snúningar) er allur munurinn á mynstri sem þú tekur eftir á eftir og spá sem þú gerir fyrir fram.
Prófaðu
Keyrðu Rúllettuherminn í tíu snúninga og skoðaðu söguna. Yfirleitt verður þar endurtekning. Keyrðu hann aftur. Talan sem endurtekur sig verður önnur. Gerðu þetta tíu sinnum og þú hefur séð afmælisvandannstærðfræðiAfmælisvandinnHve marga þarf áður en líklegt er að tveir eigi sama afmælisdag, eða hve marga snúninga áður en líklegt er að tala endurtaki sig. Á hjóli með 37 hólfum duga 8 snúningar til að líkurnar verði betri en jafnar.Lesa allt →; gerðu það þúsund sinnum (hermarnir geta það) og þú hefur mælt hann.
Formúla
Spurningar
Nákvæmlega, með 37 hólfum í stað 365 daga. 23 manns gefa 50% fyrir afmælisdaga; 8 snúningar gefa 56% fyrir hjólið.
50% eftir um 19 snúninga. Enn hversdagslegt.
Nei. Þúsundir snúninga á einu hjóli myndu gera það; endurtekning gerir það aldrei.
Gaman að stærðfræði
Spreyttu þig fyrst. Hver lausn er falin; opnaðu hana þegar þú vilt.
Úrslitatafla við hliðina á bandarísku hjóli sýnir síðustu 16 snúninga. Hve líklegt er að engin tala komi tvisvar fyrir á henni?
Sýna lausnina
Svar Um 2,5%: um það bil 39 töflur af 40 sýna að minnsta kosti eina endurtekningu.
Farðu snúning fyrir snúning. Fyrsti snúningurinn getur verið hvað sem er. Annar verður að hitta á aðra tölu: 37 af 38. Sá þriðji verður að forðast báðar: 36 af 38. Sá sextándi verður að forðast fimmtán tölur: 23 af 38.
Margfaldaðu: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Tafla án endurtekningar er sú sjaldgæfa. Tafla með endurtekningu segir ekkert um hjólið.
Hverjar eru líkurnar á að 17 komi upp nákvæmlega fimm sinnum í tíu snúningum á evrópsku hjóli? Að einhver tala, hvaða tala sem er, komi upp fimm sinnum eða oftar? Og að einhver tala komi upp að minnsta kosti þrisvar í fjórum snúningum?
Sýna lausnina
Svar 17 nákvæmlega fimm sinnum: 1 af 315.576. Einhver tala fimm sinnum eða oftar: um 1 af 8.333. Einhver tala þrisvar eða oftar í fjórum snúningum: 1 af 349.
17 fimm sinnum: veldu hvaða fimm af snúningunum tíu, 252 leiðir, hver með líkurnar (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Samanlagt 1 af 315.576.
Einhver tala: hver af 37 tölunum hefur líkurnar 1 af 308.325 á að koma upp fimm sinnum eða oftar, sem gefur 37 af 308.325, eða 1 af 8.333. Sjaldgæfa tilvikið þar sem tvær tölur koma hvor upp fimm sinnum er talið tvisvar, en að taka það út breytir engu við þessa nákvæmni.
Þrisvar í fjórum snúningum: fyrir eina tölu, 4 × 36 + 1 = 145 af 37⁴ mögulegum niðurstöðum; fyrir hverja af 37 tölunum, 145/37³ = 1 af 349.
Fyrir hjól með tvöföldu núllihjólNúllStaka græna hólfið sem ekkert veðmál á jöfnu, tylft eða dálk nær yfir; uppspretta forskots hússins. Einnig: eitt núll, 0.Lesa allt → eru samsvarandi tölur 1 af 359.275, 1 af 9.243 og 1 af 368. Bilið á milli „17“ og „einhverrar tölu“ er afmælisvandinnstærðfræðiAfmælisvandinnHve marga þarf áður en líklegt er að tveir eigi sama afmælisdag, eða hve marga snúninga áður en líklegt er að tala endurtaki sig. Á hjóli með 37 hólfum duga 8 snúningar til að líkurnar verði betri en jafnar.Lesa allt → aftur: það eru 37 leiðir til að koma á óvart.
Smá skemmtun
Eitthvað endurtekur sig snemma. Hvað það er ræður tilviljun.
Heimildir
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, 1. bindi.
- Wizard of Odds. „Ask the Wizard“, spurningar um rúllettu.